Question

（2012•枣庄一模）已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，圆C2：x2+y2+8x-2

3

y+7=0，点A是椭圆上的顶点，点P是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合的任意一点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若直线AP与圆C₂相切，求点P的坐标；
（3）若点M是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x₁，0），点F（x₂，0），探究x₁•x₂是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据的离心率为

1

2

，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，建立方程组，即可求得椭圆C₁的方程；
（2）设直线AP的方程为kx-y+

3

=0，利用直线AP与圆C₂相切，求得直线的斜率，从而可得点P的坐标；
（3）设M、P、N的坐标，利用M，P，E三点共线，N，P，F三点共线，结合M，P在椭圆上，即可求得x₁•x₂是定值．

解答：解：（1）由题意，

a+c=3 c a = 1 2

，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知A（0，

3

），且直线AP的斜率存在，设其斜率为k，则直线AP的方程为kx-y+

3

=0
圆C₂的圆心坐标为（-4，

3

），半径为2

3

∵直线AP与圆C₂相切，
∴

|-4k- 3 + 3 |

k2+1

=2

3

∴k=±

3

k=

3

时，直线方程代入椭圆方程可得5x²+8x=0，∴x=0或x=-

8

5

，∴点P的坐标为（-

8

5

，-

3 3

5

）
同理可得k=-

3

时，点P的坐标为（

8

5

，-

3 3

5

）；
（3）设M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），则N（x₃，-y₃），
由M，P，E三点共线，可得

y4-y3

x4-x3

=

y4-0

x4-x1

，∴x1=

x3y4-x4y3

y4-y3

同理由N，P，F三点共线，可得x2=

x3y4+x4y3

y4+y3

∵M，P在椭圆上，∴

x32

4

+

y32

3

=1，

x42

4

+

y42

3

=1
∴x₁•x₂=

x3y4-x4y3

y4-y3

×

x3y4+x4y3

y4+y3

=4
∴x₁•x₂是定值，定值为4．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查三点共线，正确确定椭圆方程是关键．