Question

如图，三棱柱OAB—O₁A₁B₁，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=.求：

（1）二面角O₁—AB—O的大小；

（2）异面直线A₁B与AO₁所成角的大小.

（上述结果用反三角函数值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）取OB的中点D，连结O1D， 则O1D⊥OB. ∵平面OBB1O1⊥平面OAB， ∴O1D⊥平面OAB. 过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E. 则O1E⊥AB. ∴∠DEO1为二面角O1—AB—O的平面角. 由题设得O1D=， sinOBA=， ∴DE=DBsinOBA= ∵在Rt△O1DE中，tanDEO1=， ∴∠DEO1=arctan，即二面角O1—AB—O的大小为arctan. （2）以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图.则 O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0）. 设异面直线A1B与AO1所成的角为α， 则， cosα=， ∴异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos.