题目内容
（2002•上海）如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=| 3 |
（1）二面角O1-AB-O的大小；
（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小．（上述结果用反三角函数值表示）
分析：（1）分别以OA、OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系，可得O、A、B、O1各点的坐标，从而可得
、
的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出
=（2
，3，
）是平面AB01的一个法向量，结合
=（0，0，1）是平面AOB的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角O1-AB-O的大小；
（2）根据（1）的结论，得到
=（-
，1，-
），结合
=(-
，1，
)利用空间向量夹角的公式算出
、
夹角的余弦之值，即可得到异面直线A1B与AO1所成角的大小．
| AB |
| A1O |
| m |
| 3 |
| 3 |
| n |
（2）根据（1）的结论，得到
| A1B |
| 3 |
| 3 |
| AO1 |
| 3 |
| 3 |
| A1B |
| AO1 |
解答：解：（1）如图，以OA、OB为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系
可得0（0，0，0），A（
，0，0）、B（0，2，0）、01（0，1，
）
∴
=(-
，2，0)，
=(-
，1，
)
设
=（x，y，z）是平面ABO1的一个法向量
则
，取x=2
得y=3，z=
∴
=（2
，3，
）
又∵
=（0，0，1）是平面AOB的一个法向量，
∴cos＜
，
＞=
=
=
因此，二面角O1-AB-O的大小为arccos
；
（2）由（1）得A1（
，1，
），
=（-
，1，-
）
∵
=(-
，1，
)
∴cos＜
，
＞=
=
=
因此，异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos
．
可得0（0，0，0），A（
| 3 |
| 3 |
∴
| AB |
| 3 |
| AO1 |
| 3 |
| 3 |
设
| m |
则
|
| 3 |
| 3 |
∴
| m |
| 3 |
| 3 |
又∵
| n |
∴cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
| ||
|
| ||
| 4 |
因此，二面角O1-AB-O的大小为arccos
| ||
| 4 |
（2）由（1）得A1（
| 3 |
| 3 |
| A1B |
| 3 |
| 3 |
∵
| AO1 |
| 3 |
| 3 |
∴cos＜
| A1B |
| AO1 |
| ||||
|
| 3+1-3 | ||||
|
| 1 |
| 7 |
因此，异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos
| 1 |
| 7 |
点评：本题在三棱柱中求平面与平面所成角和异面直线所成角的大小．着重考查了棱柱的性质、利用空间向量的方法研究面面角和异面直线所成角等知识，属于中档题．
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