Question

19.如图，三棱柱OAB—O₁A₁B₁，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=.求：

（1）二面角O₁—AB—O的大小；

（2）异面直线A₁B与AO₁所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）

Answer 1

19.解：（1）取OB的中点D，连结O₁D，则O₁D⊥OB.

 

∵平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∴O₁D⊥平面OAB.

过D作AB的垂线，垂足为E，连结O₁E. 则O₁E⊥AB.

∴∠DEO₁为二面角O₁—AB—O的平面角.

 

由题设得O₁D=，sinOBA==，

∴DE=DBsinOBA=.

∵在Rt△O₁DE中，tanDEO₁=，

∴∠DEO₁=arctan，即二面角O₁—AB—O的大小为arctan.

（2）以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则

O（0，0，0），O₁（0，1，），A（，0，0），A₁（，1，），B（0，2，0）.

设异面直线A₁B与AO₁所成的角为α，

则=－=｛－，1，－｝，

=－=｛，－1，｝，

cosα==，

∴异面直线A₁B与AO₁所成角的大小为arccos.