题目内容

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若 $数学公式$ ．
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于 $数学公式$ ．

解：（1）a，b，c∈（0，1），∴1-a＞0，b＞0．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故 $\text{[math]}$ 成立．
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于 $\text{[math]}$ ，由（1）得 $\text{[math]}$ ，
同理可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
把这三个不等式相加可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，矛盾，
从而得到假设不成立，即（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于 $\text{[math]}$ ，再由基本不等式可得 $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ，由此证得命题成立．
（2）用反证法，假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于 $\text{[math]}$ ，由（1）得 $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，把这三个不等式相加可推出矛盾，故假设不正确，即命题正确．
点评：本题主要考查用反证法、放缩法证明数学命题，基本不等式的应用，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．