Question

（2007•浦东新区一模）（1）A、B、C为斜三角形ABC的三个内角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命题：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，则A+B+C=π．判断该命题的真假并说明理由．
（说明：试卷中的“tgA”在试点教材中记为“tanA”）

Answer 1

分析：（1）先根据C=π-（A+B）得到tgC=tg[π-（A+B）]=-tg（A+B）=-

tgA+tgB

1-tgAtgB

，再结合已知条件求出tgC=1即可求出角C；
（2）当tgAtgB≠1时，⇒tg（A+B）（1-tgAtgB）=tgC（tgAtgB-1）⇒tg（A+B）=-tgC⇒A+B=kπ-C⇒A+B+C=kπ，k可以等于2，与A+B+C=π相矛盾，即可说明其为假命题．

解答：解：（1）∵C=π-（A+B），
∴tgC=tg[π-（A+B）]=-tg（A+B）=-

tgA+tgB

1-tgAtgB

-------（4分），
由已知，tgA+tgB=tgAtgB-1
所以tgC=1，又因为C∈（0，π），
所以C=

π

4

-----------（6分）
（2）由tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，
当tgAtgB≠1时，⇒tg（A+B）（1-tgAtgB）=tgC（tgAtgB-1）-------（8分）
tg（A+B）=-tgC⇒A+B=kπ-C（k为整数）即A+B+C=kπ-------（10分）
因为A，B，C∈（0，π），可以取得A，B，C的值，使得A+B+C=2π，
命题为假-----------（12分）
若tgAtgB=1，则tgA+tgB+tgC=tgC，tgA+tgB=0，这种情况不可能----（14分）
所以，命题是假命题．（10分）

点评：本题主要考查两角和与差的正切公式的使用，一般在用两角和与差的正切公式时，可以直接用，也可以变形使用．