题目内容

（选做题）已知a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．
分析：利用柯西不等式，即可求得a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．
解答：解：由于(
1
a
+
2
b
+
3
c
)(a+2b+3c)=[(
1
a
)2+(
2
b
)2+(
3
c
) 2][(
a
)2+(
2b
)2+(
3c
)2]≥(
1
a
a
+
2
b
2b
+
3
c
3c
)2=36（5分）
又
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，
∴a+2b+3c≥18，当且仅当a=b=c=3时等号成立
当a=b=c=3时，a+2b+3c取得最小值18                     （10分）
点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（不等式选讲选做题） 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，则a的取值范围为
 
．
（选做题）
已知a，b是实数，如果矩阵M=
.
2a
b1
.
所对应的变换将直线x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
（选做题）已知a，b，c为正实数，且a，b，c∈(1，
7
)．
（Ⅰ）证明：
1
a2-1
+
1
7-a2
≥
2
3
；
（Ⅱ）求
1
(a2-1)(7-b2)
+
1
(b2-1)(7-c2)
+
1
(c2-1)(7-a2)
的最小值．
（2013•陕西）（不等式选做题） 
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为
2
2
．

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