某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动.根据市场调查.该店决定从2种不同型号的洗衣机.2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中.选出4种不同型号的商品进行促销.该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售.即在该商品现价的基础上将价格提高150元.同时.若顾客购买该商品.则允许有3次抽奖的机会.若中奖.则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机，2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是0.5，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X．
（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的概率；
（Ⅱ）请写出X的分布列，并求X的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

分析（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号包括洗衣机、电视机各一种型号，空调两种型号；洗衣机两种型号，电视机、空调各一种型号；电视机两种型号，洗衣机、空调各一种型号，从而可求概率．
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m，分别求出相应的概率，即可写出X的分布列，利用期望公式可求X的数学期望．
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，故可建立不等式，由此可求每次中奖最低奖金．

解答解：（Ⅰ）设选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号为事件A，
则P（A）=$\frac{2{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{24}{35}$．
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=m）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=2m）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）=\frac{3}{8}$，
P（X=3m）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为：

X	0	m	2m	3m
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴X的数学期望EX=$0×\frac{1}{8}+m×\frac{3}{8}+2m×\frac{3}{8}+3m×\frac{1}{8}$=1.5m．
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，
因此应有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．

点评本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X的所有可能的取值是解题的关键．