Question

1．甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多$\frac{A}{2}$，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：
（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；
（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）由{a_n}是以a₁=A为首项，以$d=\frac{A}{2}$为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式即可求得a_n，{b_n}是以a₂=A为首项，以$\frac{A}{2}$为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求得b_n；
（II）由${a_{20}}=\frac{A}{2}×20+\frac{A}{2}=\frac{21}{2}A＞10A$，则$\frac{{{b_{20}}}}{{{a_{20}}}}＜\frac{2A}{10A}=20%$，即b₂₀＜20%•a₂₀，则2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面．

解答 解：（I）设甲公司第n年市场占有率为a_n，
依题意，{a_n}是以a₁=A为首项，以$d=\frac{A}{2}$为公差的等差数列．（2分）
∴${a_n}=A+（n-1）•\frac{A}{2}=\frac{A}{2}n+\frac{A}{2}$．（3分）
设乙公司第n年市场占有率为b_n，
根据图形可得：${b_n}=A+\frac{1}{2}A+\frac{1}{2^2}A+\frac{1}{2^3}A+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}A$（5分）
=$（{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）A$．
∴甲公司第n年市场占有率a_n=$\frac{A}{2}$n+$\frac{A}{2}$，乙公司第n年市场占有率b_n=$（{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）A$（6分）
（II）依题意，2012年为第20年，则${a_{20}}=\frac{A}{2}×20+\frac{A}{2}=\frac{21}{2}A＞10A$，
${b_{20}}=（2-\frac{1}{{{2^{19}}}}）A＜2A$，（9分）
∴$\frac{{{b_{20}}}}{{{a_{20}}}}＜\frac{2A}{10A}=20%$，即b₂₀＜20%•a₂₀，（11分）
∴2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面．（12分）

点评 本题考查等差数列及等比数列模型，考查等差数列及等比数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．