Question

12．已知函数f（x）=x³-alnx．
（1）当a=3，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-9x在区间$[\frac{1}{2}，2]$上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过函数的导数判断f′（x）＞0解得x＞1，求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）条件转化为${g^'}（x）=3{x^2}-\frac{a}{x}-9≤0$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，得到a≥[h（x）]_max（$x∈[\frac{1}{2}，2]$），通过h（x）=3x³-9x，h′（x）=9x²-9，利用函数的单调性以及函数的最值求解即可．

解答 解：（1）根据条件${f^'}（x）=3{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{3（{x^3}-1）}}{x}$，又x＞0，则f′（x）＞0解得x＞1，
所以f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；
（2）由于函数g（x）在区间$[\frac{1}{2}，2]$上单调递减，所以${g^'}（x）=3{x^2}-\frac{a}{x}-9≤0$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
即3x³-9x≤a在$[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，则a≥[h（x）]_max（$x∈[\frac{1}{2}，2]$），其中h（x）=3x³-9x，h′（x）=9x²-9，则h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上单减，在[1，2]上单增，$a≥{[h（x）]_{max}}=max\{h（\frac{1}{2}），h（2）\}=6$，经检验，a的取值范围是[6，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．