Question

4．记函数$f（x）=lg（3-x）+\sqrt{x-1}$的定义域为集合A，函数g（x）=2^x+a的值域为集合B．
（1）若a=2，求A∩B和A∪B；
（2）若A∪B=B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的值域确定出B，找出A与B的交集，并集即可；
（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，确定出a的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=lg（3-x）+$\sqrt{x-1}$，得到$\left\{\begin{array}{l}3-x＞0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，
解得1≤x＜3，
∴A=[1，3）；
若a=2，则有g（x）=2^x+2＞2，得到B=（2，+∞），
则A∩B=（2，3）；A∪B=[1，+∞）；
（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，
∵A=[1，3），B=（a，+∞），
∴a＜1，
则a的取值范围是（-∞，1）．

点评 此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．