题目内容
14．已知函数f（x）=（x2-3）ex，则关于x的方程f2（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0的实根个数可能是（ ）| A． | 3 | B． | 1 | C． | 3或5 | D． | 1或3或5 |
分析 求得f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2-mt-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，由判别式和韦达定理可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．
解答 
解：函数f（x）=（x2-3）ex的导数为f′（x）=（x+3）（x-1）ex，
当x＞1或x＜-3时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=1处取得极小值-2e；在x=-3处取得极大值6e-3，
作出f（x）的图象，如右图．
关于x的方程f2（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，
由判别式为m2+$\frac{48}{{e}^{2}}$＞0，方程有两个不等实根，
令t=f（x），则t2-mt-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，t1t2=-$\frac{12}{{e}^{2}}$＜0，
则原方程有一正一负实根．
当t＞6e-3，y=t和y=f（x）有一个交点，
当0＜t＜6e-3，y=t和y=f（x）有三个交点，
当-2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，
当t＜-2e时，y=t和y=f（x）没有交点，
则x的方程f2（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0的实根个数可能是1或3或5．
故选：D．
点评 本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
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6．下列说法正确的是（ ）
| A． | “a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件 | |
| B． | 命题“?x0∈R，x02+1＜0”的否定是“?x0∈R，x02+1＞0” | |
| C． | 关于x的方程x2+（a+1）x+a-2=0的两实根异号的充要条件是a＜1 | |
| D． | 若f（x）是R上的偶函数，则f（x+1）的图象的对称轴是x=-1 |
6．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示：
据此资料你是否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？
| 性别 | 晕机 | 不晕机 | 合计 |
| 男 | 24 | 31 | 55 |
| 女 | 8 | 26 | 34 |
| 合计 | 32 | 57 | 89 |
3．若函数f（x）=sin（2x+φ）满足对一切x∈R，都有f（x）≥f（$\frac{π}{6}$）成立，则下列关系式中不成立的是（ ）
| A． | f（-$\frac{π}{12}$）=0 | B． | f（$\frac{π}{12}$）+f（$\frac{3π}{4}$）=0 | C． | f（$\frac{π}{12}$）＜f（$\frac{2π}{3}$） | D． | f（0）＞f（-$\frac{5π}{12}$） |
4．“a=1”是“函数f（x）=eax+e-ax为偶函数”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分不必要条件 |