Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=23-4n，S_n是其前n项之和，则使数列{

Sn

n

}的前n项和最大的正整数n的值为

10

．

Answer 1

分析：由题意可知数列{a_n}是以19为首项，4为公差的等差数列，可求其S_n，可得

Sn

n

=-2n+21，可得数列{

Sn

n

}前10项为正，从第11项起全为负，即得答案．

解答：解：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=23-4n，∴a_n+1-a_n=23-4（n+1）-23+4n=-4
又a₁=19，故数列{a_n}是以19为首项，4为公差的等差数列，
故其前n项和S_n=

n(19+23-4n)

2

=-2n²+21n，∴

Sn

n

=-2n+21
同理可得可知数列{

Sn

n

}是以19为首项，-2为公差的递减的等差数列，
令-2n+21≤0，解得n≤

21

2

，故数列{

Sn

n

}前10项为正，从第11项起全为负，
故数列{

Sn

n

}的前10项和最大，故使数列{

Sn

n

}的前n项和最大的正整数n的值为10．
故答案为：10

点评：本题为等差数列的应用，得出数列{

Sn

n

}前10项为正，从第11项起全为负，是解决问题的关键，属基础题．