题目内容
已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意x1，x2，给出下列结论：
①（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③f（x2）-f（x1）＜x2-x1；
④
＜f(
)．
其中正确结论的个数为（ ）
①（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③f（x2）-f（x1）＜x2-x1；
④
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
其中正确结论的个数为（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
分析：根据条件和正弦函数的单调性判断①，根据对条件进行变形和正弦函数的图象，以及直线斜率的几何意义判断②，利用正弦函数的单调性判断③，根据正弦函数的图象进行判断④．
解答：解：①、由（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0得f（x）为增函数，因为函数y=f（x）在（0，π）上先增后减，故①错误；
②、由于x2f(x1)＞x1f(x2)?
＞
，将k=
视为曲线y=f（x）上的点与原点连线斜率，结合函数图象可知横坐标越大，斜率越小，故②正确；
③、当x∈（0，π）时，y=f（x）-x=sinx-x为减函数，∴f（x2）-x2＜f（x1）-x1，故③正确；
④、由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，?x1，x2∈（0，+∞），
＜f(
)，故④正确．
故选C．
②、由于x2f(x1)＞x1f(x2)?
| f(x1) |
| x1 |
| f(x2) |
| x2 |
| f(x) |
| x |
③、当x∈（0，π）时，y=f（x）-x=sinx-x为减函数，∴f（x2）-x2＜f（x1）-x1，故③正确；
④、由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，?x1，x2∈（0，+∞），
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
故选C．
点评：本题考查了正弦函数的单调性和图象的应用，需要所给的条件进行化简后，根据正弦函数的性质进行判断，考查了数形结合思想．
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