Question

平面内有四个向量

a

、

b

、

x

、

y

，满足

a

=

y

-

x

，

b

=2

x

-

y

，

a

⊥

b

，|

a

|=|

b

|=1
（1）用

a

、

b

表示

x

、

y

；
（2）若

x

与

y

的夹角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）解方程可得（2）先由（1）中的表示结合已知|

a

|=|

b

|=1，

a

⊥

b

，求出|

x

|， |

y

|，然后利用

a

•

b

=(

y

-

x

)•( 2

x

-

y

)=0，代入可求cosθ

解答：解：（1）∵

a = y - x b = 2 x - y

∴

x = a + b   y =2 a + b

（2）∵|

a

|=|

b

|  =1，

a

⊥

b

∴|

x

|=

x 2

=

( a +  b )2

=

2

，|

y

|=

y 2

=

(2 a + b )2

=

4 a 2+4 a • b + b 2

= 

5

∵

a

⊥

b

∴

a

•

b

=(

y

-

x

)•(2

x

-

y

)
=3

x

•

y

-

y

2-2

x

 2=0
∴3×

2

×

5

cosθ -5-2×2=0
∴cosθ=

3 10

10

点评：本题主要考查了平面向量的数量积的坐标表示的基本运算，向量垂直的坐标表示，及向量模的求法：|

a

|= 

a 2

是向量求模常用的变形形式．