Question

平面内有四个点O、A、B、C，记

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，向量

a

、

b

、

c

 满足

a

+

b

+λ

c

=0，其中λ为实数．
（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；
（他）当λ=1时，且

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=-1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（1）∵点C是线段2B的中点，∴

OC

=

1

1

(

O2

+

OB

)，∴

2

+

b

-1

c

=

0

，又

2

+

b

+λ

c

=

0

，∴λ=-1．
（1）当λ=1时，则

2

+

b

+

c

=

0

，∴

b

=-(

2

+

c

)．
∵

2

•

b

=

b

•

c

，∴

b

•(

2

-

c

)=0，∴-(

2

+

c

)•(

2

-

c

)=0，∴

2

1=

c

1，∴|

2

|=|

c

|．
同理|

b

|=|

c

|．
由

2

•

b

=

b

•

c

=

c

•

2

=-1得＜

2

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=＜

c

，

2

＞，
∴△O2B≌△OBC≌OC2，∴2B=BC=C2．
∴△2BC是等边三角形．