Question

19．设函数f（x）=x²+mln（x+1）．
（1）若函数f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程是y=-x，则当x∈（0，+∞）时，证明：f（x）＜x³；
（2）证明：对任意的正整数n，不等式e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+e${\;}^{（1-n）{n}^{2}}$＜$\frac{n（n+3）}{2}$成立．

Answer 1

分析 （1）通过求导，利用函数f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程是y=-x，求得m=-1，得g（x）=f（x）-x³在（0，+∞）上单调递减，从而得证；
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为${e}^{（1-x）{x}^{2}}$＜x+1（x∈（0，+∞）），相加计算即可．

解答 证明：（1）∵f（x）=x²+mln（x+1），
∴f$′（x）=2x+\frac{m}{x+1}$，
∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程是y=-x，
∴f′（0）=m=-1
函数f（x）=x²-ln（x+1）．
令g（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），
则g′（x）=-$\frac{3{x}^{3}+（x-1）^{2}}{x+1}$，
显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，
即f（x）-x³＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x³．
（2）由（1）可知x²-x³＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），
所以${e}^{{x}^{2}-{x}^{3}}$＜e^ln（x+1），即${e}^{（1-x）{x}^{2}}$＜x+1（x∈（0，+∞）），
当x取自然数时，有${e}^{（1-n）{n}^{2}}$＜n+1（n∈N^*），
所以e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+${e}^{（1-n）{n}^{2}}$
＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）
=1×n+1+2+3+4+…+n=n+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．