Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（Ⅰ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值；

（Ⅱ）点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长度.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系.利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

（Ⅱ）利用向量共线得到的坐标.利用向量法求得直线与所成角为的余弦值的平方的表达式，还原后利用配方法求得的最大值，即求得的最大值，根据余弦函数的单调性可知，此时直线与所成角最小.根据最值成立的条件，求得线段的长度.

（Ⅰ）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系.

，，，，，

则，，

取平面的法向量，设平面的法向量为，

则，，即，解得，取，则.

设平面与平面所成二面角（锐角）为，

则.

（Ⅱ）设（其中），

，设当直线与所成角为，则，

，

令，，则，

则，

当，即，时，取得最大值，最大值为，此时取得最大值.

由余弦函数单调性可知，此时锐角取得最小值，且.