Question

【题目】巳知函数，，其中.

(1)若是函数的极值点，求的值；

(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；

(3)记，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）参考解析

【解析】

试题（1）由函数，所以可得，又是函数的极值点，即.

（2）因为在区间上单调递增，所以对函数求导，然后把变量分离，求函数的最值即可.

（3）由即可得到，，按的降幂写成二次三项的形式，然后再配方，即可得到.再用放缩法即可得到结论.

试题解析：(1)由，

得，

∵是函数的极值点，

∴，解得，经检验为函数的极值点，所以．

(2)∵在区间上单调递增，

∴在区间上恒成立，

∴对区间恒成立，

令，则

当时，，有，

∴的取值范围为．

(3) 解法1：

，令，

则

令，则，

显然在上单调递减，在上单调递增，

则，则，

故．

解法2：

则表示上一点与直线上一点距离的平方．

由得，让，解得，

∴直线与的图象相切于点，

（另解：令，则，

可得在上单调递减，在上单调递增，

故，则，

直线与的图象相切于点），

点（1，0）到直线的距离为，

则．