Question

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足1+cosA=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$sinA，sin（B+C）=6cosBsinC，则$\frac{b}{c}$的值为（　　）

• A． $1+\sqrt{6}$
• B． $1+2\sqrt{2}$
• C． $1+3\sqrt{2}$
• D． $1+3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 1+cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，sin²A+cos²A=1，联立解得A=$\frac{2π}{3}$．由sin（B+C）=6cosBsinC，即sinA=6cosBsinC，利用正弦定理余弦定理可得：2a²=3b²-3c²．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bc$cos\frac{2π}{3}$，可得a²=b²+c²+bc．联立解出即可得出．

解答 解：∵1+cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，sin²A+cos²A=1，∴$sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$．
∵sin（B+C）=6cosBsinC，
∴sinA=6cosBsinC，∴a=6ccosB=6c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，化为：2a²=3b²-3c²．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bc$cos\frac{2π}{3}$，可得a²=b²+c²+bc．
∴b²-2bc-5c²=0，
则$\frac{b}{c}$=1+$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．