Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cos ?  y=2sin?-2

（?为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，C₂的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，（余弦展开为+号，改题还是答案？）
（1）求曲线C₁的极坐标方程及C₂的直角坐标方程；
（2）点P为C₁上任意一点，求P到C₂距离的取值范围．

Answer 1

（1）∵C₁的直角坐标方程为x²+（y+2）²=4，∴C₁的极坐标方程为ρ+4cosθ=0，
∵C₂的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，展开为ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)=

2

，
∴ρcosθ+ρsinθ=2，
∴C₂的直角坐标方程为x+y-2=0；
（2）由C₂的参数方程为

x=2cosα y=-2+2sinα

（α为参数），∴可设P（2cosα，2sinα-2）．
∴点P到直线C₂的距离为d=

|2cosα+2sinα-4|

2

=

|4-2 2 sin(α+ π 4 )|

2

=2

2

-2sin(α+

π

4

)．

|2cos?-2sin?+4|

2

=|2

2

-2sin(?+

π

4

)|，
∴点P到直线C₂的距离的取值范围为[2

2

-2，2

2

+2]．