题目内容

6．已知正三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形）内接于球O，AB1与底面A1B1C1所成的角是45°，若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是2$\sqrt{3}$cm3，则球O的表面积是（　　）
A．$\frac{28π}{3}$cm2B．$\frac{14π}{3}$cm2C．$\frac{56π}{3}$cm2D．$\frac{7π}{3}$cm2

分析 利用AB1与底面A1B1C1所成的角是45°，若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是2$\sqrt{3}$cm3，求出正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长、高，进而求出底面△A1B1C1的外接圆的半径，球O的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：设正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a，则
∵AB1与底面A1B1C1所成的角是45°，
∴高为a，
∵正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是2$\sqrt{3}$cm3，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}•{a}^{2}•a$=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，
∴底面△A1B1C1的外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的半径为$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴球O的表面积是4πR2=$\frac{28π}{3}$cm2，
故选：A．

点评 本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．

练习册系列答案
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