Question

函数y=sinx+

2

sinx

的值域为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：用换元法，设t=sinx，t∈[-1，1]；把函数y=sinx+

2

sinx

化为y=t+

2

t

（t≠0），利用函数的单调性求出y的值域．

解答： 解：设t=sinx，t∈[-1，1]；
∴函数y=sinx+

2

sinx

可化为
y=t+

2

t

，（t≠0）；
∴y′=1-

2

t2

，
当t∈[-1，0）时，y′＜0，函数y是减函数，∴y≤-3；
当t∈（0，1]时，y′＜0，函数y是减函数，∴y≥3；
∴函数y的值域为（-∞，-3]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评：本题考查了利用函数的单调性求函数的值域的问题，解题时应考虑函数sinx的有界性，是基础题．