题目内容
在平面直角坐标系xOy中有两定点
，
，若动点M满足
，设动点M的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t交曲线C于A、B两点，交直线l1：y=k1x于点D，若k•k1=-4，证明：D为AB的中点．
【答案】分析：（1）设出动点M的坐标，利用由椭圆定义可知点M的轨迹为椭圆方程，利用焦点和长轴长求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）联立直线与椭圆的方程，消去y，利用韦达定理分别表示出中点坐标的表达式，联立L和直线l1求得D点的坐标，推断出D为AB的中点．
解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y）∵
由椭圆定义可知，点M的轨迹C是以
）为焦点，
长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长
故曲线C的方程为
．
（Ⅱ）依题意，联立方程组
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0
∴
即AB的中点坐标为
解方程组
得直线l与l1的交点D的坐标为
由k•k1=-4得
，代入D点坐标即为
综上可知，D为AB的中点．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析推理能力和基本运算能力．
（2）联立直线与椭圆的方程，消去y，利用韦达定理分别表示出中点坐标的表达式，联立L和直线l1求得D点的坐标，推断出D为AB的中点．
解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y）∵
由椭圆定义可知，点M的轨迹C是以
）为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长
故曲线C的方程为
．（Ⅱ）依题意，联立方程组
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0
∴
即AB的中点坐标为
解方程组
得直线l与l1的交点D的坐标为
由k•k1=-4得
，代入D点坐标即为综上可知，D为AB的中点．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析推理能力和基本运算能力．
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小学课时特训系列答案
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