Question

已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)、B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

Answer 1

解析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试.

解:设A、B关于直线l的对称点分别为A₁、B₁,由对称性知∠A₁OB₁=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A₁(2pt₁²,2pt₁)(t₁＜0),B₁(2pt₂²,2pt₂),?

又OA₁=OA=1,OB₁=OB=8,则有两式相除得=64.?

又∵k_OA1=,k_OB1=,OA₁⊥OB₁,?

∴k _OA1·k_OB1=-1,即t₁·t₂=-1.

则可将t₂=-代入上式,得t₁⁶=,t₁=-.?

故有2p=.?

∴A₁(,-2).∴k_AA1=,k_l=.?

故所求直线l的方程为y=2x,抛物线C的方程为y²=x.