Question

已知函数f（x）=x|x-a|（a∈R）
（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）＜x；
（2）若对任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜x即x|x-2|＜x，再分x＞0、x＜0两种情况，分别求得x的范围，可得不等式f（x）＜x的解集．
（Ⅱ）由题意可得对任意的x∈（0，4]，都有f（x）＜4，即x-

4

x

＜a＜x+

4

x

 恒成立．设g（x）=x-

4

x

，p（x）=x+

4

x

，利用导数求的g（x）的最大值和p（x）的最小值，可得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜x即x|x-2|＜x，
显然x≠0，当x＞0时，原不等式可化为：|x-2|＜1，即-1＜x-2＜1，
解得 1＜x＜3．
当x＜0时，原不等式可化为：|x-2|＞1，即x-2＞1 或x-2＜-1，求得x＜0．  
综上得：当a=2时，原不等式的解集为{x|1＜x＜3 或x＜0}．
（Ⅱ）∵对任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，即-4＜x（x-a）＜4，
对任意的x∈（0，4]都有x-

4

x

＜a＜x+

4

x

 恒成立．
设g（x）=x-

4

x

，p（x）=x+

4

x

，x∈（0，4]，如图所示：
问题等价于x∈（0，4]时，g（x）_max＜a＜p（x）_min．
∵g′（x）=1+

4

x2

＞0，∴函数g（x）在（0，4]上单调递增，g（x）_max=g（4）=3．
又∵p′（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，∴p（x）在（0，2]上递减，在[2，4]上递增，
∴p（x）_min=p（2）=4 a∈（3，4）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．