Question

13．求数列$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{{3}^{2}}$，$\frac{9}{{3}^{3}}$，…，$\frac{4n-3}{{3}^{n}}$的前n项和．

Answer 1

分析 利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：设S_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{{3}^{2}}$+$\frac{9}{{3}^{3}}$+…+$\frac{4n-3}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+…+$\frac{4n-7}{{3}^{n}}$+$\frac{4n-3}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+4（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{4n-3}{{3}^{n+1}}$=$4×\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-1-$\frac{4n-3}{{3}^{n+1}}$=$1-\frac{4n+3}{{3}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{4n+3}{2×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．