Question

已知函数f(x)=.
(1)若f(x)=2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

(1) x＝log₃(1＋) ；
(2) f(x)＝3^x－在(0，＋∞)上单调递增 ；
(3) [－4，＋∞).

解析试题分析：(1)当x≤0时，f(x)＝3^x－3^x＝0，∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3^x－，令3^x－＝2，
∴(3^x)²－2·3^x－1＝0，∴3^x＝1±.
∵3^x>0，∴3^x＝1－ (舍)．∴3^x＝1＋.∴x＝log₃(1＋)             4分
(2)当x>0，f(x)＝3^x－.∵y＝3^x在(0，＋∞)上单调递增，
y＝在(0，＋∞)上单调递减．
∴f(x)＝3^x－在(0，＋∞)上单调递增        8分
(3)∵t∈[，1]，∴f(t)＝3^t－>0，
∴3^tf(2t)＋mf(t)≥0化为3^t(3^2t－)＋m(3^t－)≥0.
即3^t(3^t＋)＋m≥0.即m≥－3^2t－1.
令g(t)＝－3^2t－1，则g(t)在[，1]上递减，
∴g(x)_max＝－4.
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)         13分
考点：本题主要考查指数函数的性质，指数方程的解法，不等式恒成立问题。
点评：中档题，解简单的指数方程，一般是考虑化同底数指数幂相等或利用“换元法”，转化成一元二次方程求解。不等式恒成立问题，一般是利用“分离参数法”，转化成求函数最值问题。