Question

对于两个正数a₁，a₂而言，则有

2

1 a1 + 1 a2 + 1 a3 …+ 1 an

=

a1 a2

≤

a1+a2

2

≤

a12+a22 2

成立；对于三个正数a₁，a₂，a₃而言，则有

3

1 a1 + 1 a2 + 1 a3

≤

3	a1a2a3

≤

a1+a2+a3

3

≤

a12+a22+ a32 3

那么对于n个正数a₁，a₂，a₃…a_n而言，则有

 

成立．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的不等式，分析不等式两边的各项和式及指数部分与式子编号之间的关系，易得不等式的分子分母的系数，归纳后即可推断出第n（n∈N^*）个不等式．

解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：
不等式组有四个式子组成，
左边的第一个为

n

1 a1 + 1 a2 + 1 a3 +… + 1 an

，
左边的第二个为

n	a1a2a3… an

不等式右边第一个为

a12+a22+a32+…an2 n

不等式右边第二个为

a1+a2+a3+…+an

n

根据已知可以推断：
第n（n∈N^*）个不等式为：

n

1 a1 +  1 a2 + 1 a3 +… + 1 an

≤

n	a1a2a3…  an

≤

a1+a2+a3+…+an

n

≤

a12+a22+a32+…an2 n

故答案为：

n

1 a1 +  1 a2 + 1 a3 +… + 1 an

≤

n	a1a2a3…  an

≤

a1+a2+a3+…+an

n

≤

a12+a22+a32+…an2 n

点评：本题考查归纳推理，由不等式构造新不等式的能力．本题题目的注意事项是：一、四个式子的结构特征，二、四个式子的大小关系；三、分子分母及要根指数的相应变化．