Question

（本题满分12分）已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交随圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.

Answer 1

（Ⅰ）="1." （Ⅱ）直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)。

试题分析：（1）根据椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为得到a,c的比值，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。那么利用线与圆相切，利用点到直线的距离公式得到圆的半径。求解得到结论。
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)．与椭圆方程联立，然后结合韦达定理，得到k的表达式，进而得到交点定点的坐标。
解：（Ⅰ）由题意知e==，所以e²===．即a²=b²．
又因为b==，所以a²=4，b²=3．故椭圆的方程为=1.…4分
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)．
由,得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0． ①…6分
设点B(x₁,y₁)，E(x₂,y₂)，则A(x₁,-y₁)．直线AE的方程为y-y₂=(x-x₂)．令y=0，得x=x₂-．将y₁=k(x₁-4)，y₂=k(x₂-4)代入，
整理，得x=． ②…8分
由①得x₁+x₂=，x₁x₂=…10分  代入②整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)．……12分
点评：解决该试题的关键是熟练的运用椭圆的几何性质得到其椭圆的方程，以及联立方程组的思想，结合韦达定理得到k的值，求解得到定点。