Question

已知正数数列{a_n}为等比数列，若a₁+a₂=96，a₃+a₄=24，
（1）求a₅+a₆；
（2）记R_n=a₁•a₂•a₃…a_n，试求R_n取最大值时n的值．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的通项公式可得：q²=

a3+a4

a1+a2

=

24

96

=

1

4

，则有a₅+a₆=q²（a₃+a₄），进而得到答案．
（2）由（1）可得：q=

1

2

，再结合题中的条件可得：a_n=a₁•q^n-1=64•(

1

2

)n-1，令a_n=64•(

1

2

)n-1≥1可得n≤7，进而得到答案．

解答：解：（1）因为a₁+a₂=96，a₃+a₄=24，
所以根据等比数列的通项公式可得：q²=

a3+a4

a1+a2

=

24

96

=

1

4

，
所以a₅+a₆=q²（a₃+a₄）=6，
所以a₅+a₆=6．
（2）由（1）可得：q=

1

2

，
因为a₁+a₂=96，
所以a₁=64，
所以a_n=a₁•q^n-1=64•(

1

2

)n-1．
若要使R_n=a₁•a₂•a₃…a_n最大则必须都是大于或者等于1的正数，即a_n=64•(

1

2

)n-1≥1，
所以n≤7，
所以R_n取最大值时n=6或7．

点评：本题主要考查等比数列的性质与通项公式，以及解不等式的有关知识，此题属于基础题．