Question

已知正数数列{an}的前n项和Sn，且对任意的正整数n满足2

Sn

=an+1
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设bn=

1

an•an+1

，数列{bn}的前n项和为Bn，求Bn范围．

Answer 1

分析：（1）仿写一个等式，两式相减，得到数列的项的递推关系，据此递推关系，判断出数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．
（2）将数列的通项裂成两项的差，通过叠加相互抵消，求出数列的前n项和，即可得出结论．

解答：解：（1）由2

Sn

=a_n+1，n=1代入得a₁=1，
两边平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴（a_n-1）²-（a_n-1+1）²=0（3分）
∴[（a_n-1）+（a_n-1+1）]•[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正数数列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴有a_n=2n-1；
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴B_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

•

2n

2n+1

=

n

2n+1

=

1

2

+

- 1 2

2n+1

，
∵n≥1，
∴2n+1≥3，
∴

1

3

≤B_n＜

1

2

．

点评：若知数列的和与项的递推关系求通项，常采用仿写的方法；求数列的前n项和，一般先判断通项的特点，然后采用合适的求和方法．