Question

已知正数数列{a_n}中，a₁=2．若关于x的方程x²-（

an+1

）x+

2an+1

4

=0（n∈N^×））对任意自然数n都有相等的实根．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

3

（n∈N^×）．

Answer 1

分析：（1）由题意得△=a_n+1-2n-1=0，可得a₂=5，a₃=11．
（2）由于a_n+1=2a_n+1，所以数列a_n+1是以a₁+1=3为首项，公比为2的等比数列，知数列{

1

an+1

}是以

1

3

为首项，公比为

1

2

的等比数列，于是可以证明

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜

2

3

．

解答：解：（1）由题意得△=a_n+1-2n-1=0，即a_n+1=2a_n+1，进而可得a₂=5，a₃=11．
（2）由于a_n+1=2a_n+1，所以a_n+1=2（a_n+1），因为a₁+1=3≠0，所以数列a_n+1是以a₁+1=3为首项，公比为2的等比数列，知数列{

1

an+1

}是以

1

3

为首项，公比为

1

2

的等比数列，于是

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=

1

3

(1+

1

2

+…+

1

2n-1

) = 

2

3

[1-(

1

2

)n] ＜

2

3

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．