Question

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
（3）已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

Answer 1

（1）当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆，当且时,方程表示的是椭圆;（2）存在圆满足要求(3) 当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

试题分析：（1）因为,,,
所以,   即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即,    且
,
要使,  需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由（2）知, 即   ①,
因为与轨迹E只有一个公共点B₁,
由（2）知得,
即有唯一解
则△=,   即,    ②
由①②得,  此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点,
由 中,所以,,
B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,
在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即
当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.
点评：中取不同值时代表不同的曲线，可一是直线，圆，椭圆，双曲线；
直线与椭圆相交问题常用的思路：直线方程与椭圆方程联立，整理为x的二次方程，利用根与系数的关系，将所求问题转化到两根来表示，本题第二问第三问对学生而言难度较大