Question

14．已知函数f（x）=|x-a|+|x-3|（a＜3）．
（1）若不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$}，求a的值；
（2）若对?x∈R，f（x）+|x-3|≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=|x-a|+|x-3|（a＜3）的图象关于直线x=$\frac{a+3}{2}$对称，且f（x）≥4的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$}，则有 $\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$=a+3，由此求得a的值．
（2）由题意可得|x-a|+|x-3|≥1-|x-3|恒成立，求得左边的最小值3-a，和右边的最大值1，故有3-a≥1，由此求得a的范围．

解答 解：（1）由已知易得函数f（x）=|x-a|+|x-3|（a＜3）的图象关于直线x=$\frac{a+3}{2}$对称，
又f（x）≥4的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$}，则 $\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$=a+3，即a=2．
（2）不等式f（x）+|x-3|≥1 恒成立，即|x-a|+|x-3|≥1-|x-3|恒成立，
由图象可知f（x）=|x-a|+|x-3|在x=3处取得最小值3-a，
而1-|x-3|在x=3处取得最大值为1，故3-a≥1，得a≤2．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．