Question

已知等比数列a_n中，公比q∈(0，1)，a2+a4=

5

4

，a1a5=

1

4

，设bn=

1

2

nan，(n∈N*)．
（I）求数列a_n的通项公式；
（II）求数列b_n的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用等比数列的性质得到a2•a4=a1a5=

1

4

，列出关于a₂，a₄的方程组，求出a₂，a₄；求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出通项
（II）数列的通项是一个等比数列与一个等差数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答：解：（I）由题意知a2•a4=a1a5=

1

4

解方程组：

a2+a4= 5 4 a2•a4= 1 4

∵q∈（0，1）
∴a₂＞a₄
∴a2=1，a4=

1

4

∴q=

1

2

，a1=2
∴an=2×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2
所以数列a_n的通项公式为an=(

1

2

)n-2
（II）因为bn=

1

2

nan，(n∈N*)，an=(

1

2

)n-2
∴Sn=1×(

1

2

)0+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n(

1

2

)n-1

1

2

Sn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+  (n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n
两式相减得

1

2

Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n(

1

2

)n
解得Sn=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1
数列b_n的前n项和Sn=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1

点评：求数列的前n项和时，关键是判断出通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．