Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），点P(3，

7

)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）过Q（0，2）的直线l与双曲线交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2

2

，O为坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的定义求得2a=|PF1|-|PF2|=2

2

，再根据a²+b²=c²，求b²，可得双曲线方程；
（2）设直线方程为：y=kx+2，将直线方程代入双曲线方程，结合韦达定理求出|EF|，再利用点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离d，根据S=

1

2

×|EF|×d=2

2

，求得k值，并验证△＞0．

解答：解：（1）由双曲线的定义知：2a=|PF1|-|PF2|=2

2

，∴a=

2

，c=2，
∵a²+b²=c²，∴b²=2，
∴双曲线方程为：x²-y²=2．
（2）由题意得：直线l的斜率一定存在，设l：y=kx+2，
由

y=kx+2 x2+y2=2

⇒（1-k²）x²-4kx-6=0，△=16k²+24（1-k²）=24-8k²
则

1-k2≠0 △＞0

⇒k²＜3且k≠±1，
x₁+x₂=

4k

1-k2

，x₁x₂=-

6

1-k2

，|EF|²=（1+k²）[(x1+x2)2-4x₁x₂]=（1+k²）

24-8k2

(1-k2)2

，
∵原点到直线的距离d=

2

1+k2

，
S_△=

1

2

×|EF|×d=

1

2

×

(1+k2) 24-8k2 (1-k)2

×

2

1+k2

=2

2

⇒k⁴-k²-2=0，
解得k²=2或k²=-1（舍去），即k=±

2

，
故所求直线方程为

2

x-y+2=0或

2

x+y-2=0．

点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的关系，韦达定理，点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，综合性强．解答本题一定要注意验证△＞0．