Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

2

3

，且

1

an-1

+

1

an+1

=

2

an

．
（1）求a_n；
（2）设b_n=a_na_n+1，求b₁+b₂+b₃+…b_n；
（3）求证：a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜4

Answer 1

分析：（1）依题意知{

1

an

}为等差数列，公差d=

1

a2

-

1

a1

=

1

2

，由此可求出a_n．
（2）由题意知b_n=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，由此可求出b₁+b₂+b₃+…b_n的值．
（3）an2=

4

(n+1)2

＜

4

n(n+1)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

），由此可证出a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜4．

解答：解：（1）依题意知{

1

an

}为等差数列，公差d=

1

a2

-

1

a1

=

1

2

，
∴

1

an

=1+

1

2

(n-1)，∴an=

2

n+1

．
（2）bn=anan+1=

4

(n+1)(n+2)

4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴b₁+b₂+…+b_n=4[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=4(

1

2

-

1

n+2

) =

2n

n+2

．
（3）an2=

4

(n+1)2

＜

4

n(n+1)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴a₁²+a₂²+…+a_n²＜4[(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=4（1-

1

n+1

）＜4．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意积累证明技巧．