Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²）+f（2t-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，满足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值
（2）利用函数的单调性和奇偶性的性质，将抽象不等式f（t²）+f（2t-k）＜0，化为二次不等式，进而可得k的取值范围

解答：解：∵定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(-1)

，
即

-1+b 2+a =0 -21+b 21+1+a =- -2-1+b 2-1+1+a

解得

a=2 b=1

∴a的值是2，b的值是1．
（2）由（1）得f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

则函数函数f（x）在R上单调递减
又∵函数f（x）是奇函数，
∴不等式f（t²）+f（2t-k）＜0可转化为f（t²）＜-f（2t-k）
即f（t²）＜f（k-2t）
∴t²＞k-2t
则k＜t²+2t
令y=t²+2t，则y_min=-1
故k＜-1
即k的取值范围为：（-∞，-1）．

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．