Question

20．对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式tanx•f（x）＜f′（x）恒成立，则下列不等式错误的是（　　）

• A． f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）
• B． f（$\frac{π}{3}$）＞2cos1•f（1）
• C． 2cos1•f（1）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=cosxf（x），求导数结合已知条件可得函数F（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，可得F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{4}$）＜F（1）＜F（$\frac{π}{3}$），代值结合选项可得答案．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx＞0，cosx＞0，
构造函数F（x）=cosxf（x），
则F′（x）=-sinxf（x）+cosxf′（x）
=cosx[f′（x）-tanxf（x）]，
∵对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式tanx•f（x）＜f′（x）恒成立，
∴F′（x）=cosx[f′（x）-tanxf（x）]＞0，
∴函数F（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{4}$）＜F（1）＜F（$\frac{π}{3}$），
∴cos$\frac{π}{6}$f（$\frac{π}{6}$）＜cos$\frac{π}{4}$f（$\frac{π}{4}$）＜cos1f（1）＜cos$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜cos1f（1）＜$\frac{1}{2}$f（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜2cos1f（1）＜f（$\frac{π}{3}$），
结合选项可知D错误．
故选：D

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数是解决问题的关键，属中档题．