Question

（本题满分13分）

如图一，平面四边形关于直线对称，。

把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于。对于图二，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）． 

【解析】

试题分析：（I）取BD的中点E，先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC；

（II）欲证线面垂直，转化为证明线线垂直，证明AC⊥BC，AC⊥CD即可；

（III）欲求直线AC与平面ABD所成角，先结合（I）中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角，……………2分

在中，

   …………………………………4分                                                                                                                    

（Ⅱ）由，

 

，   又平面．……………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角．……13分

方法二：设点到平面的距离为，

∵              

  于是与平面所成角的正弦为   ．

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，  则．

设平面的法向量为，则

， ，

取，则，  于是与平面所成角的正弦即

． 

考点：本试题主要考查了余弦定理的运用，二面角、线面角的求法，线面垂直的判定，以及数形结合数学、空间想象能力或用向量解决立体几何问题的方法能力．

点评：解决该试题的关键是利用定义法得到二面角是该试题的突破口，并能结合三角形的与线订立的到边AC的长度。熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理。