Question

12．设各项均为正数的等差数列{a_n}的首项为1，其前n项和为S_n，且S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）设常数k满足k＜$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$对一切的m，n∈N^*，m＜n恒成立，求证：k的最大值等于$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，由S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*）．取n=2时，2+d=$\frac{（1+d+1）^{2}}{4}$，解得d，利用等差数列的通项公式可得a_n．
（2）由（1）可得：S_n=n².$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$=$\frac{m+2n}{m+n}$，k＜$\frac{m+2n}{m+n}$=1+$\frac{n}{m+n}$=1+$\frac{1}{\frac{m}{n}+1}$，即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d＞0，∵S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*）．
∴n=2时，2+d=$\frac{（1+d+1）^{2}}{4}$，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）证明：S_n=n²．
$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$=$\frac{m+2n}{m+n}$，
∵k＜$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$对一切的m，n∈N^*，m＜n恒成立，
∴k＜$\frac{m+2n}{m+n}$=1+$\frac{n}{m+n}$=1+$\frac{1}{\frac{m}{n}+1}$，
∵1+$\frac{1}{\frac{m}{n}+1}$＞$\frac{3}{2}$，
∴$k≤\frac{3}{2}$．
∴k的最大值等于$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、数列的单调性、递推关系的应用、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．