Question

正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，

现将△沿翻折成直二面角．

   （１）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

   （２）求二面角的余弦值；

   （３）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.

 

Answer 1

 解：法一：（I）如图：在△ABC中，

由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF.   

∴AB∥平面DEF.    …………4分

   （II）∵AD⊥CD，BD⊥CD        ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=  ∴tan∠MNE=，cos∠MNE=  ………9分

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………10分

证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，

∴PQ⊥平面ACD      ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………14分

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量

为则 即

  

所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设

…………………12分

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE       …………………………14分

另解：设

又       …………………………12分

把

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE      …………….14分