Question

14．已知函数f（x）=x²+ax+3，当x∈[-2，2]时，f（x）的最小值为a²-1，求a的值．

Answer 1

分析 将已知中函数f（x）=x²+ax+3，化为顶点式的形式，再结合函数x∈[-2，2]时，f（x）的最小值为a²-1，分类讨论，易得关于a的方程，解方程即可求出答案．

解答 解：f（x）=x²+ax+3=（x+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$+3，
∴-$\frac{a}{2}$＜-2，即a＞4时，f（x）的最小值f（-2）=7-2a=a²-1，∴a=-4或a=2，不合题意；
-2≤-$\frac{a}{2}$≤2，即-4≤a≤4时，f（x）的最小值f（-$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+3=a²-1，∴a=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，合题意；
-$\frac{a}{2}$＞2，即a＜-4时，f（x）的最小值f（2）=7+2a=a²-1，∴a=4或a=-2，不合题意；
综上，a=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．