Question

6．在2014年南京“青奥会”来临之际，某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场，已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元，且每套礼品的加工费用为6元，若该纪念品投放市场后，每套礼品出厂价格为x（60≤x≤100）元，根据市场调查可知，这种纪念品的日销量q与$\sqrt{x}$成反比，当每套礼品的出厂价为81元时，日销量为200个．
（1）若每天加工产品个数根据销量而定，使得每天加工的产品恰好销售完，求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系；
（2）若在某一段时间为了增加销量，计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售，但保证每日的利润不低于9000元，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，代入求出比例系数，进而可得纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系；
（2）根据（1）中函数解析式，求出每套纪念品在每天获得最大利润的定价，再求出每日的利润不低于9000元的定价范围，可得答案．

解答 解：（1）∵纪念品的日销量q与$\sqrt{x}$成反比，
∴设q=$\frac{k}{\sqrt{x}}$，
又∵当每套礼品的出厂价为81元时，日销量为200个．
故200=$\frac{k}{\sqrt{81}}$，解得：k=1800，
∴q=$\frac{1800}{\sqrt{x}}$，
则每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系为：y=$\frac{1800}{\sqrt{x}}$（x-30-6）=$\frac{1800}{\sqrt{x}}$（x-36），（60≤x≤100），
（2）∵y=$\frac{1800}{\sqrt{x}}$（x-36）=1800$\sqrt{x}$-$\frac{36}{\sqrt{x}}$，（60≤x≤100）为增函数，
故当x=100时，函数取最大值，
$\frac{1800}{\sqrt{x}}$（x-36）≥9000，即$\sqrt{x}-\frac{36}{\sqrt{x}}≥5$，即$x-5\sqrt{x}-36≥0$，
解得：$\sqrt{x}≥9$，
即：81≤x≤100；
则t∈[0，19]

点评 本题考查的知识点是函数的应用，根据已知得到函数的解析式，是解答的关键，解答时一定要注意自变量的取值范围．