Question

17．已知函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，求
（1）f（x）最小正周期及单调增区间．
（2）满足不等式f（x）≥0的x取值范围的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论．
（2）由不等式可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{1}{2}$，故有2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，由此求得x取值范围的集合．

解答 解：（1）由函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，可得它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）不等式f（x）≥0，即 sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{1}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，
求得kπ-$\frac{π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{24}$，故不等式的解集为 {x|kπ-$\frac{π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{24}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，三角不等式的解法，属于基础题．