Question

4．数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求{a_n}的通项公式； 
（2）等差数列{b_n}的各项为正，前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求数列{$\frac{1}{T_n}$}的前n项和$\frac{1}{T_1}$+$\frac{1}{T_2}$+$\frac{1}{T_3}$+…+$\frac{1}{T_n}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）设{b_n}的公差为d 由T₃=15可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5．故可设b₁5-d，b₃=5+d．
由题意可得：（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得d=2，（d＞0），再利用等差数列的求和公式与“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=2S_n+1（n≥1）．可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，∴a_n+1=3a_n，
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁．
故{a_n}是首项为1，公比为3得等比数列，
∴a_n=3^n-1．
（2）设{b_n}的公差为d  由T₃=15可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5．
故可设b₁5-d，b₃=5+d．
又a₁=1，a₂=3，a₃=9．
由题意可得：（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得d=2，或-10．
∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0，因此d=2，b₁=3，
∴T_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+2n．
$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{$\frac{1}{T_n}$}的前n项和$\frac{1}{T_1}$+$\frac{1}{T_2}$+$\frac{1}{T_3}$+…+$\frac{1}{T_n}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．