Question

5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求二面角C-AD₁-D的余弦值；
（2）求BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AD₁-D的余弦值．
（2）求出平面AD₁D的法向量和$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，由此能求出BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设平面AD₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
又平面ADD₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角C-AD₁-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-AD₁-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）B（1，1，0），B₁（1，1，1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），
由（1）得平面AD₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设BB₁与平面ACD₁所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{B{B}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}|$=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosα=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值和线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．