题目内容
19．已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过定点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
分析 （1）通过将点P代入椭圆方程并利用离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算即得结论；
（2）先假设存在一个定点P，使得以AB为直径的圆恒过定点，再用垂直时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，得到关于直线斜率k的方程，求k，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．
解答 解：（1）由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过定点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为${x}^{2}+（y+\frac{1}{3}）^{2}=（\frac{4}{3}）^{2}$
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x2+y2=1
所以两圆的切点为点（0，1）
所求的点P为点（0，1），证明如下．
直线l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）与椭圆方程联立得（18k2+9）x2-12kx-16=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=$\frac{12k}{18{k}^{2}+9}$，x1x2=-$\frac{16}{18{k}^{2}+9}$，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（1+k2）x1x2-$\frac{4}{3}$k（x1+x2）+$\frac{16}{9}$
=（1+k2）•（-$\frac{16}{18{k}^{2}+9}$）-$\frac{4}{3}$k•$\frac{12k}{18{k}^{2}+9}$+$\frac{16}{9}$=0，
所以$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即以AB为直径的圆过点（0，1）
所以存在一个定点P，使得以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）．
点评 本题考查了椭圆，椭圆与直线的综合运用，另外，还结合了向量知识，综合性强，须认真分析．
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已知某市野生动物园中有猛虎出没，三位青年为抄近路返回市区（从A点出发，沿y轴负方向走直线），决定冒险穿越野生动物园，如图，设老虎出没的区域为圆C：（x-2）2+（y-4）2=$\frac{25}{4}$所含区域，三位青年从A（0，6）到O需要40min，若三位青年在老虎出没的地区逗留时间超过15min就有生命危险．问：三位青年是否有生命危险？（假设三位青年以匀速返回市区）| A． | 2或10 | B． | 10 | C． | 2 | D． | 4或8 |
| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{9π}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{9π}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{16π}$ | D． | $\frac{8\sqrt{2}}{π}$ |