已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.且过定点M(1.$\frac{\sqrt{2}}{2}$)(1)求椭圆C的方程,(2)已知直线l:y=kx-$\frac{1}{3}$与椭圆C交于A.B两点.试问在y轴上是否存在定点P.使得以弦AB为直径的圆恒过P点?若存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过定点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

分析（1）通过将点P代入椭圆方程并利用离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算即得结论；
（2）先假设存在一个定点P，使得以AB为直径的圆恒过定点，再用垂直时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，得到关于直线斜率k的方程，求k，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．

解答解：（1）由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过定点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为${x}^{2}+（y+\frac{1}{3}）^{2}=（\frac{4}{3}）^{2}$
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
所以两圆的切点为点（0，1）
所求的点P为点（0，1），证明如下．
直线l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）与椭圆方程联立得（18k²+9）x²-12kx-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=$\frac{12k}{18{k}^{2}+9}$，x₁x₂=-$\frac{16}{18{k}^{2}+9}$，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（1+k²）x₁x₂-$\frac{4}{3}$k（x₁+x₂）+$\frac{16}{9}$
=（1+k²）•（-$\frac{16}{18{k}^{2}+9}$）-$\frac{4}{3}$k•$\frac{12k}{18{k}^{2}+9}$+$\frac{16}{9}$=0，
所以$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即以AB为直径的圆过点（0，1）
所以存在一个定点P，使得以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）．