题目内容
【题目】在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，现有甲、乙、丙、丁4名考生参加考试，其中甲、乙选做第22题的概率均为
，丙、丁选做第22题的概率均为
．
(Ⅰ)求在甲选做第22题的条件下，恰有两名考生选做同一道题的概率；
(Ⅱ)设这4名考生中选做第22题的学生个数为X，求X的概率分布及数学期望．
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ) 
【解析】试题分析：(Ⅰ)根据独立事件同时发生的概率公式及条件概率公式求解即可；(Ⅱ) X的所有可能取值为0、1、2、3、4，分别根据独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式求得各随机变量发生的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可.
试题解析：(Ⅰ)【方法一】记“甲选做第22题”为事件A；“恰有两名考生选做同一道题”为事件B.
由题意可计算， 
， 
，
所以
.
【方法二】在甲选做第22题的条件下，恰有两名考生选做同一道题，问题等价于“乙、丙、丁三人中有且只有一人选做第22题，其余两人选做第23题”，记为事件C.
由题意可计算， 
.
(Ⅱ) X的所有可能取值为0、1、2、3、4．
， 
，
，
， 
，
所以X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
|
|
从而
．
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